Bernhard Riemann , en entier Georg Friedrich Bernhard Riemann , (né le 17 septembre 1826, Breselenz, Hanovre [Allemagne]—mort le 20 juillet 1866, Selasca, Italie), mathématicien allemand dont les approches profondes et novatrices de l'étude de géométrie a jeté les bases mathématiques de la théorie de la relativité d'Albert Einstein. Il a également apporté d'importantes contributions à la théorie des fonctions, à l'analyse complexe et à la théorie des nombres.
Riemann est né dans une famille de pasteurs luthériens pauvres, et toute sa vie, il était une personne timide et introvertie. Il a eu la chance d'avoir un instituteur qui a reconnu ses capacités mathématiques rares et lui a prêté des livres avancés à lire, dont celui d'Adrien-Marie Legendre. La théorie du nombre (1830). Riemann a lu le livre en une semaine et a ensuite prétendu le connaître par cœur. Il a ensuite étudié les mathématiques à l'Université de Göttingen en 1846-1847 et 1849-1851 et à l'Université de Berlin (aujourd'hui la Université Humboldt de Berlin ) en 1847-1849. Il gravit ensuite progressivement les échelons de la profession universitaire, par une succession d'emplois mal rémunérés, jusqu'à ce qu'il devienne professeur titulaire en 1859 et gagne, pour la première fois de sa vie, une certaine sécurité financière. Cependant, en 1862, peu de temps après son mariage avec Elise Koch, Riemann tomba gravement malade avec tuberculose . Des voyages répétés à Italie n'a pas réussi à endiguer la progression de la maladie, et il est mort en Italie en 1866.
Les visites de Riemann en Italie ont été importantes pour la croissance des mathématiques modernes là-bas; Enrico Betti s'est particulièrement intéressé à l'étude des idées riemanniennes. La mauvaise santé empêcha Riemann de publier tout son travail, et certains de ses meilleurs ne furent publiés qu'à titre posthume - par exemple, la première édition de Riemann's Recueil d'ouvrages mathématiques (1876 ; Collected Mathematical Works), édité par Richard Dedekind et Heinrich Weber.
L'influence de Riemann était initialement moindre qu'elle aurait pu l'être. Göttingen était une petite université, Riemann était un pauvre conférencier et, pour aggraver les choses, plusieurs de ses meilleurs étudiants sont morts jeunes. Ses quelques papiers sont également difficiles à lire, mais son travail a gagné le respect de certains des meilleurs mathématiciens d'Allemagne, dont son ami Dedekind et son rival à Berlin, Karl Weierstrass. D'autres mathématiciens ont été progressivement attirés par ses papiers par leur intellectuel profondeur, et de cette façon il a établi un programme pour conceptuel réfléchir à un calcul ingénieux. Cet accent a été repris par Felix Klein et David Hilbert , qui ont ensuite établi Göttingen comme centre mondial de recherche en mathématiques, avec Carl Gauss et Riemann comme son iconique Les figures.
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Dans sa thèse de doctorat (1851), Riemann a introduit une manière de généraliser l'étude des équations polynomiales à deux variables réelles au cas de deux variables complexes. Dans le cas réel, une équation polynomiale définit une courbe dans le plan. Parce qu'une variable complexe avec peut être considéré comme une paire de variables réelles X + je Oui (où je =Racine carrée de√-1), une équation impliquant deux variables complexes définit une surface réelle - maintenant connue sous le nom de surface de Riemann - étalée sur le plan. En 1851 et dans son article plus largement disponible de 1857, Riemann a montré comment de telles surfaces peuvent être classées par un nombre, appelé plus tard le genre, qui est déterminé par le nombre maximal de courbes fermées qui peuvent être dessinées sur la surface sans la diviser en morceaux séparés. C'est l'une des premières utilisations significatives de la topologie en mathématiques.
En 1854, Riemann a présenté ses idées sur la géométrie pour la qualification postdoctorale officielle à Göttingen ; le vieux Gauss était examinateur et fut très impressionné. Riemann a soutenu que les ingrédients fondamentaux de la géométrie sont un espace de points (appelé aujourd'hui une variété) et une façon de mesurer les distances le long de courbes dans l'espace. Il a soutenu que l'espace n'a pas besoin d'être l'espace euclidien ordinaire et qu'il pourrait avoir n'importe quelle dimension (il a même envisagé des espaces de infini dimension). Il n'est pas non plus nécessaire que la surface soit dessinée dans son intégralité dans l'espace tridimensionnel. Quelques années plus tard, cela a inspiré le mathématicien italien Eugenio Beltrami à produire une telle description de la géométrie non-euclidienne, la première physiquement plausible alternative à la géométrie euclidienne. Les idées de Riemann sont allées plus loin et se sont avérées fournir la base mathématique de la géométrie à quatre dimensions de l'espace-temps dans la théorie de la relativité générale d'Einstein. Il semble que Riemann ait été conduit à ces idées en partie par son aversion pour le concept d'action à distance dans les la physique et par son désir de doter l'espace de la capacité de transmettre des forces telles que l'électromagnétisme et la gravitation.
En 1859, Riemann a également introduit la théorie des fonctions complexes dans la théorie des nombres. Il a pris la fonction zêta, qui avait été étudiée par de nombreux mathématiciens précédents en raison de sa connexion avec les nombres premiers, et a montré comment la considérer comme une fonction complexe. La fonction zêta de Riemann prend alors la valeur zéro aux entiers pairs négatifs (appelés zéros triviaux) et également aux points d'une certaine ligne (appelée ligne critique). Les méthodes standard de la théorie des fonctions complexes, dues à Augustin-Louis Cauchy en France et à Riemann lui-même, donneraient beaucoup d'informations sur la distribution des nombres premiers si l'on pouvait montrer que tous les zéros non triviaux se trouvent sur cette ligne - une conjecture connue sous le nom de Riemann hypothèse . Tous les zéros non triviaux découverts jusqu'à présent ont été sur la ligne critique. En fait, une infinité de zéros ont été découverts sur cette ligne. De tels résultats partiels ont été suffisants pour montrer que le nombre de nombres premiers inférieur à n'importe quel nombre X est bien approximé par X /ln X . Le Riemann hypothèse était l'un des 23 problèmes que Hilbert a mis au défi de résoudre les mathématiciens dans son célèbre discours de 1900, The Problems of Mathematics. Au fil des ans, un corpus croissant d'idées mathématiques s'est construit sur l'hypothèse que l'hypothèse de Riemann est vraie ; sa preuve, ou sa réfutation, aurait des conséquences de grande envergure et conférerait une renommée instantanée.
Riemann a adopté une vision nouvelle de ce que signifie l'existence d'objets mathématiques. Il recherchait des preuves d'existence générales, plutôt que des preuves constructives qui produisent réellement les objets. Il croyait que cette approche conduisait à la clarté conceptuelle et empêchait le mathématicien de se perdre dans les détails, mais même certains experts étaient en désaccord avec de telles preuves non constructives. Riemann a également étudié comment les fonctions se comparent à leur représentation trigonométrique ou en série de Fourier, ce qui l'a amené à affiner les idées sur les fonctions discontinues. Il a montré à quel point la théorie des fonctions complexe illumine l'étude des surfaces minimales (surfaces de moindre superficie qui s'étendent sur une frontière donnée). Il a été l'un des premiers à étudier les équations différentielles impliquant des variables complexes, et son travail a conduit à un lien profond avec la théorie des groupes. Il a introduit de nouvelles méthodes générales dans l'étude des équations aux dérivées partielles et les a appliquées pour produire la première grande étude des ondes de choc.
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